Page 72 - Mešinovič, Sanela, Mara Cotič, Amalija Žakelj. 2019. Učenje in poučevanje geometrije v osnovni šoli. Koper: Založba Univerze na Primorskem.
P. 72
enje in poučevanje geometrije
Stopnja 2 – neformalna dedukcija. Predmet mišljenja na stopnji 2 so lastno-
sti oblik. Učenci so, ne da bi mislili na konkretno obliko, sposobni razmišljati
o lastnostih geometrijskih oblik in zaznati odnose med temi lastnostmi (npr.
če so v liku vsi štirje koti pravi, potem je ta lik pravokotnik; vsi koti v kvadratu
so pravi; torej je tudi kvadrat pravokotnik). Na podlagi sklepanja so sposobni
določiti oblike le z majhnim številom opredeljenih značilnosti (npr. lik s štirimi
skladnimi stranicami in enim pravim kotom imenujemo kvadrat). Učenci ne
opazujejo le lastnosti oblik, ampak se osredotočajo na logične argumente
o lastnostih. Sposobni so slediti in razumeti neformalno deduktivno poda-
nim dokazom. Čeprav so dokazi bolj intuitivni kot strogo deduktivni, učenci
razumejo logične implikacije. Odnose med geometrijskimi elementi in defi-
nicije so sposobni razumeti, vendar le z vodenim učenjem (Dickson, Brown
in Gibson 1984). Še vedno pa ne razumejo aksiomatske strukture formalnega
deduktivnega sistema.
Rezultat mišljenja na stopnji 2 so odnosi med lastnostmi geometrijskih oblik.
Stopnja 3 – dedukcija. Predmet mišljenja na stopnji 3 so odnosi med lastnostmi
geometrijskih oblik. Učenci na stopnji dedukcije ne razmišljajo več le o lastno-
stih geometrijskih oblik, ampak o dokazih, ki so z njimi povezani. Sposobni so
razumeti abstraktnejše izjave. Aksiome in definicije logično interpretirajo, ne
več le intuitivno. Učenci so sposobni oblikovati dokaze na nivoju visokošol-
ske geometrije, ko začnejo graditi celoten geometrijski sistem na deduktivni
način.
Rezultat mišljenja na stopnji 3 so deduktivni aksiomski sistemi za geometrijo.
Stopnja 4 – strogo matematična stopnja. Predmet mišljenja na stopnji 4 so
deduktivni aksiomski sistemi za geometrijo. Učenci na najvišji stopnji razumejo
razlike in odnose med aksiomskimi sistemi. Vedo, da je evklidska geometrija
le eden izmed abstraktnih matematičnih svetov in razumejo neevklidske sis-
teme. Razumejo in pri opisu geometrijskih lastnosti uporabljajo aksiome, de-
finicije in izreke. Geometrijo popolnoma razumejo na abstraktnem nivoju, in
to brez uporabe konkretnih ponazoritev (Dickson, Brown in Gibson 1984).
Strogo matematična stopnja je značilna za univerzitetni nivo študija mate-
matike. Doseže jo le nekaj učencev oz. študentov.
Rezultat mišljenja na stopnji 4 so primerjave različnih aksiomskih sistemov ge-
ometrije.
Van Hiele (1959) je zelo podrobno opisal prve tri stopnje (stopnjo vizuali-
zacije, analize in neformalne dedukcije). Dokumentiral je številne konkretne
odgovore učencev med aktivnostmi iz geometrije, na podlagi katerih je do-
ločil stopnjo njihovega geometrijskega mišljenja. O višjih stopnjah (stopnji
70
Stopnja 2 – neformalna dedukcija. Predmet mišljenja na stopnji 2 so lastno-
sti oblik. Učenci so, ne da bi mislili na konkretno obliko, sposobni razmišljati
o lastnostih geometrijskih oblik in zaznati odnose med temi lastnostmi (npr.
če so v liku vsi štirje koti pravi, potem je ta lik pravokotnik; vsi koti v kvadratu
so pravi; torej je tudi kvadrat pravokotnik). Na podlagi sklepanja so sposobni
določiti oblike le z majhnim številom opredeljenih značilnosti (npr. lik s štirimi
skladnimi stranicami in enim pravim kotom imenujemo kvadrat). Učenci ne
opazujejo le lastnosti oblik, ampak se osredotočajo na logične argumente
o lastnostih. Sposobni so slediti in razumeti neformalno deduktivno poda-
nim dokazom. Čeprav so dokazi bolj intuitivni kot strogo deduktivni, učenci
razumejo logične implikacije. Odnose med geometrijskimi elementi in defi-
nicije so sposobni razumeti, vendar le z vodenim učenjem (Dickson, Brown
in Gibson 1984). Še vedno pa ne razumejo aksiomatske strukture formalnega
deduktivnega sistema.
Rezultat mišljenja na stopnji 2 so odnosi med lastnostmi geometrijskih oblik.
Stopnja 3 – dedukcija. Predmet mišljenja na stopnji 3 so odnosi med lastnostmi
geometrijskih oblik. Učenci na stopnji dedukcije ne razmišljajo več le o lastno-
stih geometrijskih oblik, ampak o dokazih, ki so z njimi povezani. Sposobni so
razumeti abstraktnejše izjave. Aksiome in definicije logično interpretirajo, ne
več le intuitivno. Učenci so sposobni oblikovati dokaze na nivoju visokošol-
ske geometrije, ko začnejo graditi celoten geometrijski sistem na deduktivni
način.
Rezultat mišljenja na stopnji 3 so deduktivni aksiomski sistemi za geometrijo.
Stopnja 4 – strogo matematična stopnja. Predmet mišljenja na stopnji 4 so
deduktivni aksiomski sistemi za geometrijo. Učenci na najvišji stopnji razumejo
razlike in odnose med aksiomskimi sistemi. Vedo, da je evklidska geometrija
le eden izmed abstraktnih matematičnih svetov in razumejo neevklidske sis-
teme. Razumejo in pri opisu geometrijskih lastnosti uporabljajo aksiome, de-
finicije in izreke. Geometrijo popolnoma razumejo na abstraktnem nivoju, in
to brez uporabe konkretnih ponazoritev (Dickson, Brown in Gibson 1984).
Strogo matematična stopnja je značilna za univerzitetni nivo študija mate-
matike. Doseže jo le nekaj učencev oz. študentov.
Rezultat mišljenja na stopnji 4 so primerjave različnih aksiomskih sistemov ge-
ometrije.
Van Hiele (1959) je zelo podrobno opisal prve tri stopnje (stopnjo vizuali-
zacije, analize in neformalne dedukcije). Dokumentiral je številne konkretne
odgovore učencev med aktivnostmi iz geometrije, na podlagi katerih je do-
ločil stopnjo njihovega geometrijskega mišljenja. O višjih stopnjah (stopnji
70
