Page 17 - Mešinovič, Sanela, Mara Cotič, Amalija Žakelj. 2019. Učenje in poučevanje geometrije v osnovni šoli. Koper: Založba Univerze na Primorskem.
P. 17
Evklidska geometrija
Evklidska geometrija
Evklidska geometrija je najbolj znan matematični sistem, zasnovan na delu
grškega matematika Evklida, ki ga je opisal v 13 knjigah z naslovom Elementi.
Izhajal je iz manjšega števila očitnih trditev, ki jih ni treba dokazovati, poi-
menoval pa jih je postulati ali aksiomi. Na njihovi podlagi je po deduktivni
metodi dokazal veliko število izrekov. Z deduktivnim načinom sklepanja je
dokazal tudi že znane izjave predhodnih matematikov.
Na začetku je v Elementih opisana ravninska geometrija. Knjige I., II., III., IV.
in VI. govorijo o pogojih za skladnost dveh trikotnikov in enakosti njunih plo-
ščin, odnosih med stranicami in koti, pojmu vzporednic, transformaciji mno-
gokotnika v kvadrat z enako ploščino, krožnici, včrtanih in očrtanih večko-
tnikih ter podobnosti večkotnikov (Pagon 1995). Knjige V., VII., VIII., IX. in X.
so večinoma posvečene aritmetiki, podani v geometrijski obliki. Zadnje tri
knjige (XI., XII. in XIII.) obravnavajo osnove stereometrije.
Prvo knjigo je Evklid začel s petimi postulati (ali aksiomi):
Aksiom 1 Za poljubni dve točki obstaja daljica, ki ju povezuje.
Aksiom 2 Vsako daljico lahko neomejeno podaljšujemo na obe strani.
Aksiom 3 Poljubna točka je lahko središče krožnice s poljubnim polmerom.
Aksiom 4 Vsi pravi koti so enaki.
Aksiom 5 Če poljubni dve premici sekamo s tretjo premico in je vsota
notranjih kotov, ki ju dobimo na eni strani te premice, manjša od dveh
pravih kotov, se prvi dve premici sekata na tej strani tretje premice.
Matematiki so peti aksiom kasneje nekoliko poenostavili, po matematič-
nem pomenu pa je enakovreden Evklidovemu: Skozi dano točko, ki ne leži na
premici, poteka natanko ena vzporednica k tej premici (aksiom o vzporednici).
Seveda so v Elementih tudi pomanjkljivosti. V nekaterih dokazih je Evklid
določene dele sprejel kot očitne in jih ni dokazoval (Mitrović 1997). Šele po
odkritju neevklidskih geometrij so matematiki postavili natančnejše geome-
trijske aksiome in te pomanjkljivosti odpravili.
Z Einsteinovo teorijo relativnosti se je izkazalo, da fizični prostor ni evklid-
ski. V prostoru vesoljskih razsežnosti je ugodneje uporabljati neevklidsko ge-
ometrijo s spremenljivo ukrivljenostjo (Mitrović 1997).
Neevklidska geometrija
Neevklidska geometrija je geometrija, ki ne sloni na evklidskih aksiomih. Ob-
staja več različnih neevklidskih geometrij, ki temeljijo na različnih aksiomat-
skih sistemih.
15
Evklidska geometrija
Evklidska geometrija je najbolj znan matematični sistem, zasnovan na delu
grškega matematika Evklida, ki ga je opisal v 13 knjigah z naslovom Elementi.
Izhajal je iz manjšega števila očitnih trditev, ki jih ni treba dokazovati, poi-
menoval pa jih je postulati ali aksiomi. Na njihovi podlagi je po deduktivni
metodi dokazal veliko število izrekov. Z deduktivnim načinom sklepanja je
dokazal tudi že znane izjave predhodnih matematikov.
Na začetku je v Elementih opisana ravninska geometrija. Knjige I., II., III., IV.
in VI. govorijo o pogojih za skladnost dveh trikotnikov in enakosti njunih plo-
ščin, odnosih med stranicami in koti, pojmu vzporednic, transformaciji mno-
gokotnika v kvadrat z enako ploščino, krožnici, včrtanih in očrtanih večko-
tnikih ter podobnosti večkotnikov (Pagon 1995). Knjige V., VII., VIII., IX. in X.
so večinoma posvečene aritmetiki, podani v geometrijski obliki. Zadnje tri
knjige (XI., XII. in XIII.) obravnavajo osnove stereometrije.
Prvo knjigo je Evklid začel s petimi postulati (ali aksiomi):
Aksiom 1 Za poljubni dve točki obstaja daljica, ki ju povezuje.
Aksiom 2 Vsako daljico lahko neomejeno podaljšujemo na obe strani.
Aksiom 3 Poljubna točka je lahko središče krožnice s poljubnim polmerom.
Aksiom 4 Vsi pravi koti so enaki.
Aksiom 5 Če poljubni dve premici sekamo s tretjo premico in je vsota
notranjih kotov, ki ju dobimo na eni strani te premice, manjša od dveh
pravih kotov, se prvi dve premici sekata na tej strani tretje premice.
Matematiki so peti aksiom kasneje nekoliko poenostavili, po matematič-
nem pomenu pa je enakovreden Evklidovemu: Skozi dano točko, ki ne leži na
premici, poteka natanko ena vzporednica k tej premici (aksiom o vzporednici).
Seveda so v Elementih tudi pomanjkljivosti. V nekaterih dokazih je Evklid
določene dele sprejel kot očitne in jih ni dokazoval (Mitrović 1997). Šele po
odkritju neevklidskih geometrij so matematiki postavili natančnejše geome-
trijske aksiome in te pomanjkljivosti odpravili.
Z Einsteinovo teorijo relativnosti se je izkazalo, da fizični prostor ni evklid-
ski. V prostoru vesoljskih razsežnosti je ugodneje uporabljati neevklidsko ge-
ometrijo s spremenljivo ukrivljenostjo (Mitrović 1997).
Neevklidska geometrija
Neevklidska geometrija je geometrija, ki ne sloni na evklidskih aksiomih. Ob-
staja več različnih neevklidskih geometrij, ki temeljijo na različnih aksiomat-
skih sistemih.
15
